前天把申请的文书神马都交上去了，申请的事情暂告一段落…… 在人人上跟风写了个2013总结，大概意思是要恢复智商+锻炼身体…… （看起来不知道什么时候我产生了我有智商的错觉，明明是制造智商才对嘛……
昨天在人人上看到清华的自主招生考试数学题，感觉挺有意思的，于是今天做了一下…… 考虑到我数学已经全都还给老师了，做法应该很逗逼才是……
这个应该怎么证都能证出来的吧…… 实在不行按n模6余数暴力写6个分类讨论就行了 →_→
Problem 2: 证明
是整系数多项式（人人版本题面中分母第一个是反过来的大写pi，查了一下是co-product，看上去不是这么用的，估计是打错了…… 以及人人版本中下标从0开始，应该也是错了，不然分母分子直接都是0了）
这题我确实想了好长时间。 首先可以发现，如果\(p2|p1\)，那么
是整系数多项式是没问题的。
那么，实际只要证明
是整数就可以了。但这个证明我折腾了很久才想出来…… 之前试图把它转成组合数的形式然后通过它的现实意义来证明是整数，但一直无果…… 其实直接考虑每个质因数出现的次数就可以了。 考虑质因数p在分子、分母中出现的次数。也就是要证
看上去有点囧，但其实可以发现一个更强的结论也是对的： 对每个k都有
证明的话，可以考虑
和
的小数部分是否达到0.5，然后式子里其他几项的值就都确定了。把3个情况（都达到、有一个达到、都没达到）讨论一下，可以发现都是对的。这样就证完了。
Problem 3: 代数题…… 代数真心无力，全忘光了，不会捉……
Problem 4: 平面内有一组间隔为d的平行直线，随机撒一个长为L （L < d）的针（人人版本应该是精简版题面，没说怎么随机，我觉得应该是说针的一端落点等概率，针与水平线形成的倾斜角度等概率），证明其与直线有交点概率为
。
这题应该比较简单吧。 考虑倾斜角为a时，与直线相交的概率应为
。 因此倾斜角随机时候相交概率只要积分一下就算出来了，就是
……
Problem 5: 证明
。
当\(a=1\)时结论显然成立。
然后考虑\(a>1\)，首先可以发现
，也就是把单位圆等分成\(a\)份(\(a>1\))，原点到这\(a\)个等分点的\(a\)条向量和为零。 （考虑把所有向量转\(2\pi/a\)，这时候它们的和也转了这个角度。 但这时候只是每条向量变成了原来的下一条向量，和肯定没变。因此和向量必然是零，否则无法满足随意转个角度还能不变……）
然后也可以证明，如果a,b互质，那么对任意\(0 \leq k1,k2 < a, k1 \neq k2\)，有\(b*k1\mod a \neq b*k2\mod a\)，可以用反证法做，如果相等gcd就不是1了。 因此\(0 \leq k < a\)，\(b*k\mod a\)这\(a\)个值肯定两两不同，是0~a-1的一个排列。
然后考虑a,b不互质，设\(gcd(a,b)\)为\(g\)，也可以得到类似的结论：\(0 \leq k < a\)，\(b*k\mod a\)这\(a\)个值肯定是\(0,g,2g,\cdots,a-g\)这\(a/g\)个值每个出现了\(g\)次。
然后可以发现不管哪种情况，只要\(b\mod a\neq 0\)，由上面那个等分圆周的结论，这\(a\)个向量的和显然都是0…… 如果\(b\mod a=0\)，那么这\(a\)个向量的和就是\(a\).
于是就没有然后了。 当\(m\mod (a/g)=0\)的时候，显然此时\(mb\mod a=0\)，因此此时第二个sigma的值为\(a\)，否则第二个sigma值为0. 而0~a-1中满足是\(a/g\)的倍数的m显然正好是g个，因此第一个sigma最后的值就是ag. 因此右边\(=1/a*ag=g=gcd(a,b)\)，就证完了。